В [3] показано, что при постоянной плотности можно слагаемое rg заменить на производную от функции rgh, где h – вертикальная координата, затем эту функцию объединить с давлением p, введя для этой суммы обозначение

.

При переменной плотности для уменьшения влияния силы тяжести обычно слагаемое rg делят на две части: с постоянной и переменной плотностью r₀g + (r–r₀)g [3]. Часть слагаемого с постоянной плотностью объединяется с давлением (после ее умножения на h). В этом случае негативное влияние переменной части силы тяжести на сходимость итераций уменьшается, но полностью не устраняется. В нашей работе предлагается объединить с давлением полную силу тяжести, несмотря на то, что плотность является переменной. Так как производные от новой функции войдут во все три уравнения Навье–Стокса, то их следует рассматривать как проекции градиента этой функции на оси координат:

,

где – единичные векторы по направлениям осей x, y и z соответственно.

Чтобы при переменной плотности воздуха в неизотермических условиях обогрева помещений в зданиях производные от давления p заменить в уравнениях Навье–Стокса проекциями градиента новой функции следует представить их в виде таких выражений:

, где ,

, где ,

, где .

В результате замены производных от давления p этими выражениями в дифференциальные уравнение Навье–Стокса вместе с производными от функции войдут также и производные от переменной плотности воздуха:

,

,

.

В этом варианте записи системы дифференциальных уравнений Навье–Стокса влияние силы тяжести учитывается по всем трем координатам в одинаковой "симметричной" форме. Влияние переменной плотности непосредственно передается каждой компоненте скорости, что должно улучшать сходимость итераций.

Проверка корректности изложенных преобразований выполнена с помощью компьютерного моделирования. Для анализа взято прямоугольное сечение комнаты высотой 3 м, шириной 6 м при температуре левой стенки 50ºС и правой – 0ºС. Остальные границы расчетной области считались теплоизолированными. Результаты расчетов для обеих форм уравнений Навье–Стокса оказались идентичными, но для преобразованных уравнений, представляющих силу тяжести в симметричной форме, необходимое число итераций сократилось в 1,5 - 2 раза.

Литература

1. Табунщиков Ю.А., Бродач М.М. Математическое моделирование и оптимизация тепловой эффективности зданий. – М.: АВОК-ПРЕСС, 2002. – 194 с.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 784 с.

3. Ferziger J.H., Peric' M. Computational Methods for Fluid Dynamics. – Berlin, etc.: Springer, 2003. – 423 pp.