МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНОЙ

КОНВЕКЦИИ ПРИ ОБОГРЕВЕ ЗДАНИЙ

В настоящее время в строительстве стремятся использовать новые принципы для создания энергоэффективных зданий, в основе которых лежит использование компьютерных программ математического моделирования теплообмена в зданиях. Цель нового подхода заключается в поиске оптимальных архитектур­ных и инженерных решений, дающих экономию энергетических ресурсов [1].

Обогрев помещений в зданиях связан с конвективным переносом тепла в неизотермических воздушных объемах. Движение воздуха и свободная конвекция возникают в поле земного тяготения под действием архимедовой выталкивающей силы, величина которой определяется зависимостью плотности воздуха от температуры.

Изучение процессов в сплошной среде можно заменить исследованием основных закономерностей их протекания на математических моделях. Рассмотрение стационарных процессов свободной конвекции в комнатах зданий начнем с их математического описания в декартовых координатах x, y, z, направив ось y по вертикали.

Математическая формулировка закона сохранения массы применительно к движущейся сплошной среде приводит к дифференциальному уравнению неразрывности потока, а законов сохранения и переноса количества движения к дифференциальным уравнениям Навье–Стокса, которые для несжи­маемой среды имеют следующий вид:

,

,

.

где r – плотность воздуха; u, v и w – компоненты скорости по осям x, y и z соответственно; m – динамический коэффициент вязкости воздуха, зависящий от температуры, или его турбулентный аналог; p – давление; g – ускорение свободного падения.

Обычно данную задачу решают в преобразованных переменных "завихренность – функция тока", пригодных только для двумерных задач [2]. Для трехмерных задач более подходят естественные переменные: давление р, продольная скорость u, вертикальная скорость v и поперечная скорость w [3].

При численном решении дифференциальных уравнений в естественных переменных могут возникать затруднения со сходимостью итераций, так как сила тяжести учитывается только в уравнении для вертикальной координаты с помощью произведения rg, в то время как ее влияние на компоненты скорости u и w в системе дифференциальных уравнений Навье–Стокса проявляется лишь косвенно.