С учетом (3) уравнение (6) принимает следующий вид

(7)

Имея уравнения (5) и (7), а так же зная, что получаем систему из трёх уравнений:

(8)

В системе (8) имеем три неизвестных и три уравнения, следовательно система имеет решение.

Можно из третьего уравнения системы (8) получить дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, связанную с интенсивностью действующей нагрузки в следующем виде, предварительно продифференцировав его два раза

(9)

где w – прогиб, а .

В качестве примера рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения с высотой h и шириной b, и загруженная нагрузкой.

Определим зависимость изменения высоты сжатой зоны от действующих внутренних усилий.

а) Рассмотрим случай, когда высота сжатой зоны рана высоте растянутой, т.е.

Решим систему уравнений (8).

Подставим известные соотношения высоты сжатой зоны во второе уравнение системы и получим кривизну балки:

., т.е. радиус кривизны .

Подставим найденное значение кривизны в третье уравнение системы определим изгибающий момент М

.

б) Рассмотрим случай, когда высота сжатой зоны рана 1/3 высоты сечения, т.е. .

Подставляя известные соотношения высоты сжатой зоны во второе уравнение системы (8), получим кривизну балки

.

Пусть для материала балки имеем следующие соотношения: .

Определим кривизну

.

Подставляя найденное значение кривизны в третье уравнение системы, получим соответствующее значение изгибающего момента М

в) Рассмотрим случай, когда высота сжатой зоны рана «0», т.е.

Подставив известные соотношения высоты сжатой зоны во второе уравнение системы (8), получим кривизну балки

,

или для выше указанных данных

.

Подставим найденное значение кривизны в третье уравнение системы (8) определим изгибающий момент М

.

По полученным данным построены графики (рис. 2, 3).

Рис. 2. Зависимость кривизны Х от высоты сжатой зоны h₁

Рис. 3. Зависимость изгибающего момента M от высоты

сжатой зоны h₁

В заключении можно отметить, что полученные уравнения позволяют определять напряженно-деформированное состояние физически нелинейных балок из разномодульных материалов.