Введем замену ε = f +∆, где f - возмущающее воздействие (изменение маршрута), тогда:

(3)

Из этого выражения следует, что допустимыми воздействиями будут такие, которые при любом t удовлетворяют неравенству: k>|G­^*(t)|, где (4)

Дифференциальное уравнение САУ можно упростить, введя в рассмотрение безразмерное время и нормированную ошибку, кроме того, перейдя к фазовым переменным x₁, x₂, x₃, получим систему уравнений в форме Коши, позволяющую представить траектории движения объекта управления как в фазовом пространстве под действием оптимального управления, так и во временной области.

Проиллюстрируем результаты моделирования в среде Matlab действия оптимального закона управления [2], полученного на основе нелинейных преобразований вида:

где

Структурная схема системы с устройством управления в среде Simulink пакета Matlab показана на рис.2. (без учета форсирования).

Передаточные функции в среде Simulink представляются с помощью блоков Transfer Fcn, входной ступенчатый сигнал блоком Step, осциллограф блоком Scope, также своими блоками представлены математические операторы, а именно: суммирование сигналов, умножение, преобразования представляющие различные математические функции и т.д. Связи между блоками проводятся с помощью направленных стрелок. Как видно представление системы в виде блоков в среде Matlab делает моделирование систем наглядным и простым, а также повышает скорость получения результатов.

Рис.2. Структурная схема оптимальной системы (без форсирования)

При введении реального дифференцирующего звена в виде s/(0.01s+1), реализованного в виде, изображенном на рис.3, где Т=0,01с, и ограничении импульсов, получающихся при ступенчатом изменении сигнала, путем сравнения с пороговым значением, получаем квазиоптимальную систему.

Рис.3. Структурная схема, реализующая форсирующее звено с ограничением уровня

Переходные процессы для фазовых переменных x₁, x₂, x₃ приведены на рис 4,а,б. Переходные процессы получены при помощи блока Scope, который входит в средства получения результатов пакета Simulink. Здесь видно, что при отсутствии демпфирования наблюдаются перерегулирование фазовой переменной x₁ - (а), кроме того, фазовая переменная x₃ претерпевает колебания. При ведении форсирования (рис 4б) происходит подавление колебаний, а фазовая переменная асимптотически (без перерегулирования) приходит к установившемуся состоянию за такое же время.

Рис.4. Траектории фазовых переменных x₁, x₂, x₃: а – при отсутствии форсирования; б - при наличии форсирующего звена

Таким образом можно сказать что моделирование систем очень удобно проводить в пакете MATLAB, содержащий в своем составе инструмент визуального моделирования SIMULINK, который обладает всеми необходимыми для этого инструментальными средствами и высокой быстротой вычислений.

Литература:

1. Кисельков А.И. К построению математических моделей робокаров// Машиноведение. 1989. №4, с. 68 − 73.

2. Павлов А.А., Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966 − 388с.