| Функции супервайзера 2016
Материалы

Программные инструментальные средства для решения систем нелинейных дифференциальных уравнений методом гармонического баланса


 

Программные инструментальные средства для решения систем нелинейных дифференциальных уравнений методом гармонического баланса

 

Метод гармонического баланса был разработан Н.М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым и в дальнейшем развит другими учеными. Этот метод является одним из широко распространенных приближенных приемов отыскания периодических режимов в нелинейных колебательных системах; он основан на том обстоятельстве, что, несмотря на наличие нелинейностей, установившиеся колебания в системе при определенных условиях оказываются близкими к гармоническим.

Точное определение форму и параметров периодических режимов возможно только для некоторых типов нелинейных систем, в частности релейных. Для исследования предельных циклов в системах второго порядка весьма удобен метод фазовой плоскости. Однако во многих случаях системы управления описываются моделями высоких порядков и имеют сложные нелинейные характеристики. Важную информацию о существовании периодических режимов в нелинейных системах, их числе и параметрах может дать метод гармонического баланса. По результатам, полученным этим методом, могут быть оценены начальные условия для моделирования систем на ЭВМ с целью последующего уточнения форм и параметров локализованных периодических режимов.

Решение представляемое метод гармонического баланса тем точнее, чем больше гармоник учитывается в полученном гармоническом решении.

Основной проблемой из-за которой данный не получил большого распространения его полной реализации остается огромная емкость вычислений. Современные вычислительные средства позволяют преодолеть этот вычислительный барьер.

В основном решение представлялось одной гармоникой, и практически всегда анализировалась системы, описанные одним дифференциальным уравнением. Так, как разложение решения в ряд Фурье обладает фильтрующими свойствами, то возможно анализировать и этот результат, но для большей точности и уверенности в правильности проведенного анализа системы на основе полученного решения, предпочтительно иметь более точное решение.

 

Рассмотрим основную идею метода гармонического баланса для системы нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка, решением которой являются периодические функции:

(1)

 

Где ki , (i=1,2,..n);Функции зависящие от xj , (j=1,2,…,n).

Запишем эту систему в матричном виде:

Найдем обратную матрицу для K, M=K-1, Элементы матрицы M – функции от xi (i=1,2,…,n).

Получаем систему уравнений:

(2)

Искомые периодические решения могу быть представлены в виде:

 

xi =Ai0+Ai1cos(ωit)+Bi1sin(ωit)+...+Aikcos(ωit)+Biksin(ωit)+... ; (i=1,2,..n) (3)

 

Подставив выражения (3) в (2)получаем периодические функции:

Фi(t)=-ω2(A­i1cos(ωit)+Bi1sin(ωit))-4ω2(Ai2cos(2ωit)+Bi2sin(2ωit))+…

1 2 3
Общее время работы: 9.4830989837646 мс
Использование памяти: 658 КБ